Cátedra


FACTORIZACIÓN.


 La factorización es una descomposición matemática que se utiliza para reducir algo en sus partes constituyentes. Puede ser un número, una suma o un polinomio en forma de multiplicación. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 x 5; y a2 - b2 se factoriza en el binomio conjugado (a - b)(a + b). He aquí que factorizar enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética; factorizar polinomios en el teorema fundamental del álgebra.

Caso I - Factor común.
 
Sacar el factor común es extraer la parte literal común de un binomio, trinomio o polinomio con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.

Factor común monomio.

 Ejemplos:
1. 8a - 4b + 16c + 12d = 4 (2a - b + 4c + 3d)
2. 14x2 y2  - 28x3 + 56x4 = 14x2  (y2  - 2x + 4x2)  

Factor común polinomio.

Ejemplos:
1. a(x + 1) + b(x + 1) = (x + 1) (a +b)
2. 3(x+1) – 5x(x+1) + x2(x+1) = (x+1)(3-5x+x2)

Caso II - Factor común por agrupación de términos.

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo se agrupan cada una de las características y se le aplica el primer caso.

Ejemplos:

1. ab+ac+bd+dc
=(ab+ac)+(bd+dc)
=a(b+c)+d(b+c)
=(a+d)(b+c)

2.  4a-4b-ax-bx
=4(a-b)+x(-a+b)
=4(a-b)-x(a-b)
=(a-b)(4-x)

3. 4x2a+3y+12ax+xy
=4x2a+12ax++3y
=4ax(x+3)+y(3+x)
=(4ax+y)(x+3)

Caso III - Trinomio cuadrado perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas y el restante equivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un trinomio cuadrado perfecto se deben organizar los términos dejando en primer y tercer lugar los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada de dichos términos y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado, es decir:



Ejemplos:
1. 36x2 - 36xy + 9y2 = (6x - 3y)2
2. 9m2 + 12mn + 4n2 = (3m + 2n)2
3. 144p2 + 96pq + 16q2 = (12p + 4q)2

Caso IV - Diferencia de cuadrados

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces.

Ejemplos:
1. x2 - 9/25 =  (x - 3/5)(x + 3/5)
2. 9y2 - 4x2 = (3y - 2x)(3y + 2x)
3. x2 - 3 = (x - )(x + ) 

Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción 

Este caso se aplica cuando se identifican tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. Para solucionarlo se usan como ayuda los casos número III Y IV.

Procedimiento. 
1. Primero se pasa el tercer término con signo opuesto al lado contrario de la igualdad.
2. Luego se va a calcular el término que te permite crear tu cuadrado de la siguiente forma: selecciona el coeficiente de la variable que está elevada a la 1, se divide entre dos y elevarlo al cuadrado.
3. Este resultado lo sumarás a ambos lados de la expresión.
4. Después, la raíz cuadrada del primer término, el signo del medio y la raíz cuadrada del último término, todo elevado al cuadrado es igual a la suma de la derecha. 
5. Luego, sacar raíz cuadrada a ambos lados observando que hay dos posibles soluciones, el caso positivo y el caso negativo.
6. Por último despejar por la variable y esas son las raíces o ceros del polinomio.

 Ejemplo:
1. 16a4 - 44a2b2 + 25b4
Para que sea trinomio cuadrado perfecto, este segundo término debe ser 2(4a2)(5b2) = 40a2b2 entonces sumamos y restamos 4a2b2

 16a4 - 44a2b2 + 25b4 = 16a4 - 44a2b2 + 25b4 + 4a2b2 - 4a2b2
 16a4 - 40a2b2 + 25b4 = 16a4 - 40a2b2 + 25b4 - 4a2b2; trinomio cuadrado perfecto
 16a4 - 44a2b2 + 25b4 = (4a2 - 5b2)2 + (2ab)2; diferencia de cuadrados
                                   =[(4a2 - 5b2) + 2ab][(4a2 - 5b2) - 2ab]
                                   = ( 4a2 + 2ab - 5b2)  ( 4a2 - 2ab - 5b2) 

Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + c

Se identifica por tener tres términos, hay una variable con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados o restados den como resultado el término del medio.

Ejemplos:
1. x2 + 5 x + 6 = (x+3)(x+2)
Los números 3 y 2, sumados dan 5 y multiplicados dan 6.
2. a2 – 2 a –15 = (a – 5)(a + 3)
Los números 3 y -5 , al sumarlos dan -2 y al multiplicarlos dan -15. 
3. n2 – 6 n – 40 = (n -10)(n + 4)
Los números 4 y -10, sumados dan -6 y multiplicados dan -40.
 
Caso VII - Trinomio de la forma ax2 + bx + c

Condiciones que debe cumplir un trinomio de la forma ax2 + bx + c:

– El primer término tiene un coeficiente mayor que 1  y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.
– El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.
– El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1° y 2° términos.
Procedimiento para el trinomio de la forma ax2 +bx +c: 
  1. Multiplicamos el coeficiente "a" del factor "ax2" por cada término del trinomio, dejando esta multiplicación indicada en el término "bx" de la manera "b(ax)", y en el término "ax2" de la manera "(ax)2" .
  2. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la raíz cuadrada del término "(ax)2" la que sería "ax".
  3. Al producto resultante lo dividimos entre el factor "a", con el fin de no variar el valor del polinomio.
  4. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término "bx", el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de "bx" y de "c".
  5. Se buscaran los segundos términos de los binomios según los pasos tres y cuatro del caso del trinomio anterior. 
Ejemplo:

Antes de descomponer el trinomio en dos factores binomios, se procede así: 6x2 -7x -3

1°) Se multiplica el coeficiente del primer término “6” por todo el trinomio, dejando el producto del 2° término indicado: 6(6x2-7x -3) = 36x2 -6(7x) -18

2°)   Se ordena tomando en cuenta que 36x2 = (6x)2   y  6(-7x) = -7(6x), escribiéndolo de la siguiente manera: (6x)2 -7(6x) -18

3°) Luego se procede a factorar  (6x)2 -7(6x) -18 como un problema del Caso VI. Con una variante que se explica en el Inciso 6°

4°) Se forman 2 factores binomios con la raíz cuadrada del primer término del trinomio:   (6x-   )(6x+   )

5°) Se buscan dos números cuya diferencia sea -7   y cuyo producto sea -18;  y esos números  son -9  y  +2   porque: -9 +2 = -7   y   (-9)(2) = -18 entonces  (6x-9)(6x+2)

6°) Aquí está la variante: Como al principio multiplicamos el trinomio por “6”, entonces ahora los factores binomios encontrados, los dividimos entre  “6”
  
 Como ninguno de los binomios es divisible entre “6” entonces descomponemos el “6” en dos factores (3  y 2), de manera que uno divida a un factor binomio y el segundo divida al otro. Así:  
estos cocientes quedarían así:  (2x-3)(3x+1) lo cual  sería la solución.
Caso VIII - Cubo Perfecto de Binomios 

Debemos tener en cuenta que los productos notables nos dicen que:
(a + b)2 = a2 + 3a2b + 3ab2 + b2  y  (a - b)2 = a2 - 3a2b + 3ab2 - b2  

La fórmula de arriba nos dice que para una expresión algebraica ordenada con respecto a una parte literal sea el cubo de un binomio, tiene que cumplir lo siguiente:
1. Tener cuatro términos.
2. Que el primer término y el último sean cubos perfectos.
3. Que el segundo término sea más o menos el triplo de la primera raíz cúbica elevada al cuadrado que multiplica la raíz cúbica del último término.
4. Que el tercer término sea el triplo de la primera raíz cúbica por la raíz cubica del último término elevada al cuadrado
Si todos los términos de la expresión algebraica son positivos, la respuesta de la expresión dada será la suma de sus raíces cúbicas de su primer y último término, y si los términos son positivos y negativos la expresión será la diferencia de dichas raíces

Ejemplo: Hallar si 8x3 + 12x2 + 6x + 1

Verificamos si cumple las condiciones expuestas antes. La expresión tiene cuatro términos.
La raíz cúbica de 8x3 es 2x
La raíz cúbica de 1 es 1

3 (2x)2 (1) = 12x2, segundo término.
3 (2x) (1)2 = 6x, tercer término.

Cumple las condiciones, y como todos sus términos son positivos, la expresión dada es el cubo de (2x + 1), o de otro modo,  (2x + 1) es la raíz cúbica de la expresión.
Caso IX - Suma o Diferencia de Cubos Perfectos 

Pasos para resolver el ejercicio:
1. Descomponemos en dos factores.
2. En el primer factor se escribe la suma o la diferencia según sea el caso, de las raíces cúbicas de los dos términos.
3. En el segundo factor se escribe la raíz del primer término elevada al cuadrado, empezando con el signo menos y de ahí en adelante sus signos alternados (si es una suma de cubos) o con signo más (si es una diferencia de cubos) el producto de la primera raíz por la segunda, más el cuadrado de la segunda raíz

Fórmulas:
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2

La fórmula 1 nos dice que:
REGLA 1
            La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1.    La suma de sus raíces.
2.    El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más  el cuadrado de la segunda raíz.
La fórmula 2 nos dice que:
REGLA 2
            La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1.    La diferencia de sus raíces cúbicas.
2.    El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Ejemplos:
aa-)    Factorar  x3 + 1.
La raíz cúbica de x3 es x, la raíz cúbica de 1 es 1.
Según la regla 1:
x3 + 1 = (x + 1)⦋ x2 – x (1) + 12⦌ =  (x + 1)( x2 – x + 1)

b-)    27x3 + 125 y9 = (3x + 5y3) (9x2 - 15xy3 + 25y6)
c-)   1 – a3 = (1 - a) (1 + a + a2)
d-)  1 + a3 = (1 + a) (1 – a + a2)
e-)   a3 + 27 = (a + 3) (a2 - 3a + 9)
f-) x3 – 27 = (x - 3) (x2 - 3x + 9)
Caso X - Suma o Diferencia de Dos Potencias Iguales 
Procedimiento:
Se aplican los siguientes criterios:
Criterios de divisibilidad de expresiones de la forma an + - bn
Criterio 1: an – bn  es divisible por a - b siendo n par o impar.
Criterio 2: an + bn   es divisible por a + b siendo n impar.
Criterio 3: an – bn   es divisible por a + b cuando n es par.
Criterio 4: an + bn   nunca es divisible por a – b.

Pasos para resolver la suma de dos potencias iguales
Ejemplo: Factorar x5 +32

1.- Encontramos la raíz quinta de los términos:
Raíz quinta de x5 = x; raíz quinta de 32 = 2
2.- Formamos el primer factor con las raíces: (x +2)
3.- Formamos el segundo factor:
 (x4 – x3(2) +x2(2)2 – x (2)3 + (2)4) = (x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16)

 x5 +32 = (x +2) (x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16)

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